2章 卒論=技術文章の書き方 (5)

このページの要約

2.3 → 　フォーマットに合わせろ!!
2.4 → 「確率と統計」復習しとけ!!

2.3 論文のフォーマット

2.3.1 全角文字と半角文字

• 文字やカッコ、句読点→全角で記す
• 欧文表記や式、数字、量記号、変数、単位（カッコを用いる場合はそれも含む）→半角で記す

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• 句読点については、卒論集や学術誌が（「,」「.」）もしくは（「、」「。」）のどちらの組み合わせを使っているかを確認して、それに合わせて使用する

2.3.2 数式

• 変数、量記号（$\alpha , \beta , \gamma , t, f, m, F$）→半角イタリック体（斜体）
• 数字、数学記号、単位→半角のローマン体（立体）
• 式と本文でフォントと斜体/立体を統一

例

【式を文中に入れる場合】
抵抗R〔$\Omega$〕に電流I〔A〕が流れるとき、抵抗の端子電圧E〔V〕は、

$$E=IR \tag{1}$$

となる。

【式を一つの文として扱う場合】
試料のヤング率E〔Pa〕を式(2)より求める。

$$E=\frac{\sigma}{\epsilon} \tag{2}$$

ここで、$\sigma$〔Pa〕は応力、$\epsilon$はひずみである。

• 数式で使用する量記号や変数は、必ず本文で説明してください
• 数式の配置は、論文集のフォーマット（本文中央揃えもしくは左インデント）に合わせる
• 数式には、（1）のように式番号を示す
• 本文で式に言及するときは「式（1）」

2.3.3 数値と単位の表記

[1] 単位

ダメな例

【×】気温摂氏２０度, 湿度８０％, 向かい風５〔m/s〕でのドローンの最高速度は２０Ｋｍ／ｈであった。

正解例

【○】気温20℃, 湿度80%, 向かい風5m/sでのドローンの最高速度は20km/hであった。
　

• 単位は、本文、式ともに国際単位系（SI）および例外単位（JIS Z 8203:2000に規定）を用いる
• 数字と単位は別の単語扱いなので、間にスペースを挿入する（例：3␣km）
• 単位は1つの単語扱いなのでスペースを空けない（例：kg/㎡）

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• 割り算を含む単位は、研究分野の流儀に従う（「m/s」or「m・$s^{-1}$」）
• 時間のSI単位は「s」だが、例外単位の「h」や「min」の使用も認められている
• 接頭語（k：$10^3$など）は小文字

[2] 単位のカッコ

• 発表する論文誌のフォーマットに合わせる
  • 国際規格 ISO 80000 では、数値に続く単位にカッコをつけない
  • 学術誌や書籍にはそれぞれの流儀があるので紹介する

学術誌、書籍	流儀
文部科学省検定	量単位（変数）の後の単位はf〔Hz〕のように亀甲カッコ、数値の後はカッコなし
和文教科書・学術誌	$F[N], 3[m]$のようにブラケットで括るものが多い、量記号（変数）だけもしくは数値だけに［ ］を用いるものもある
欧文教科書・学術誌	3kPaのようにカッコなしが一般的、3(kPa)のように丸カッコを用いるものもある

• 単位にカッコを用いる場合でも%にはつけない
  （%は1/100を示しており、記号ではないため）

例

【×】45.6〔%〕
【○】45.6 %

2.3.4 見出し

• 卒論集や学術誌のフォーマットに合わせる
• 番号の全角/半角、数字の後がピリオド/スペースなどを確認する

例

1. タイトル （ゴシック10pt.、行の前を1行空ける）
2.1 タイトル （明朝10pt.）
　2.2.1 タイトル （1文字下げて、明朝9pt.）
　　(1) タイトル （2文字下げて、明朝9pt.）
　ここからが本文になります。以下の文章は例文になります。これらの文章のフォーマットは明治大学の卒業論文のフォーマットに合わせてください。卒業論文の中間締め切りは1月19日、卒業論文の最終締め切りは1月31日になります。
（本文、段落の先頭は1文字下げて、明朝9pt.）

2.3.5 フォント・ポイント

• 論文は、本文は基本的に明朝体フォントを使用
• 印刷原稿を作成する際は、投稿規定などを確認して、指定されたフォントを使用する
• フォントの指定がない場合は等幅（とうはば）フォント（それぞれの文字の幅が等しい字体）を用いる （⇔プロポーショナルフォント（文字によって幅が異なる字体））
• 論文において、文字サイズは一般的に9pt.だが、指定されたサイズを使用する

2.4 統計検定

• 2.4.2~2.4.7は数学Bの「確率分布と統計的な推測」や大学の授業の「確率・統計」で扱っている内容です
• これからやる内容を一切覚えていなかった方は、ぜひ高校の頃の教科書で復習してみてください

2.4.1 なぜ統計を用いるのか

• 測定では、アイデアを用いたアイテムがどのような特性になるかを、少ないサンプルから予測することが求められる
  → 統計を活用

2.4.2 母集団とは

(https://bellcurve.jp/statistics/course/8003.html)

2.4.3 平均値だけではわからない

• 差を議論するためには、平均値だけでなくデータのばらつきも考慮しなければならない

この図を見て「平均値が一緒なので差はありません」と言ってしまうと、読者が

という状態になってしまいます。

2.4.4 分散

• データのばらつきは（平均値との差）^2の平均値として表す
• $n$個の標本を$x_i, \cdots ,x_n$としたときの分散（標準分散）$s^2$は、平均（標準平均）値$X_m$を用いて、

$$X_m = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1} x_i \tag{2.3}$$

$$s^2 = \frac{(x_1 - X_m)^2 + (x_2 - X_m)^2 + \cdots + (x_n - X_m)^2}{n} = \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1} (x_i - X_m)^2 \tag{2.4}$$

2.4.5 正規分布

• 正規分布：式（2.5）に示される確率密度関数
• ある測定値$x$が出現する確率は、母平均$\mu$と母分散$\sigma ^ 2$を用いて、以下のように表される。

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}exp} = (-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})　　(-\infty < x < \infty) \tag{2.5}$$

• 正規分布の式は複雑 → $N(\mu, \sigma^2)$と示す

(https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty_lecture/normal.html)

2.4.6 サンプルから母集団を推定する

• 普通、母集団全てを調査できない → 母平均$\mu$と母分散$\sigma ^ 2$を得ることが出来ない
• n個のサンプルから求めた標本平均$X_m$と標本分散$s^2$から$\mu$と$\sigma ^ 2$を推定
• 標本分散から母分散を推定するため、$n-1$で割り算した不偏分散$u^2$を使う

$$u^2 = \frac{1}{n-1} \sum ^{n}_{i=1}(x_i - X_m)^2　\tag{2.6}$$

• $n-1$：自由度

2.4.7 標準偏差

• 標準偏差（=SD、不偏標準偏差$u$）：不偏分散$u^2$の平方根、母集団のばらつきを表す

$$SD = u = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum ^{n}_{i=1}(x_i - X_m)^2}　\tag{2.7}$$

• ExcelではSTDEV.S()関数を用いて求める（標本標準偏差はSTDEV.P()関数）
• 平均値$\plusmn$SDが分かれば、測定値がどのくらいの範囲に分布するのかが大体わかる

(https://unit.aist.go.jp/mcml/rg-orgp/uncertainty_lecture/normal.html)

2.4.8 母集団から取り出したサンプルの平均値

• 正規分布している母集団からn個のサンプルを取り出して平均を取るという作業を、繰り返して得る平均値の集団は、母集団と同じく正規分布する
• このとき、平均値の集団の分散は、母分散$\sigma ^ 2$をサンプル数nで割った数となる

2.4.9 t分布

• 平均値の集団は、正規分布$N(\mu, \sigma^2/n)$を示すが、測定時に母分散$\sigma ^ 2$を知ることはできない →そのため、不偏分散$u ^ 2$を用いる
• $\sigma^2$→$u^2$に正規分布と異なる分布を示す→t分布（$t(\mu, u^2/n)$）
• サンプル数nが大きくなると、t分布は正規分布に近づく

(https://bellcurve.jp/statistics/course/8968.html)

2.4.10 標準誤差

• t分布の分散($u^2/n$)の平方根($u/\sqrt{n}$)を
  標本平均の標準誤差（=SEM）または標準誤差(=SE)と呼ぶ
• ここでの標準誤差は「母平均に対する標本平均の推定精度」

$$SEM=SE=\frac{u}{\sqrt{n}} \tag{2.8}$$

2.4.11 標準偏差と標準誤差

• 工学系論文では、製品の品質を重視するため、「平均値$\plusmn$SD」を示すべきであると考える
• 平均値$\plusmn$SEでは、母集団のばらつきを示さない

2.4.12 データの比較

• 条件を変えて製作した2種類のアイテムの特性に差があるかどうかは、統計検定を用いて調べる
• 代表的なパラメトリック検定(=母集団がある特定の分布（正規分布など）に従うときに用いられる検定法)はt検定

t検定とは

• 以前（卒論=技術文章の書き方 (3)）にやったので

リンクさえも飛びたくない怠惰な人向け

2つの母集団の平均値は等しくないこと（$\mu^1 \not ={\mu^2}$）を示したいとき、あえてそれぞれの母集団の平均値は等しい（$\mu^1 = \mu^2$）との仮説を立てる。「差がある」というために「差がない」という仮説を否定（棄却）する（＝帰無仮説）。
t検定では、二つの平均の差（$X_{m1}-X_{m2}$）の出現確率$p$を計算する。これは「差がない」ときの出現確率であるため、$p=0.050$ or $p=0,010$を有意水準（危険率）として、これをp値が下回った時に帰無仮説が棄却され、「有意な差がある」と見なすことが出来る

2.4.13 t検定の例

• ExcelではT.TEST()関数を用いてt統計量（出現確率）を求める

Excelのt検定について

T.TEST（配列1、配列2、尾部、検定の種類）

• 配列1：対象となる一方のデータ
• 配列2：対象となるもう一方のデータ
• 尾部（1：片側分布、2：両側分布）：通常は2、どちらか一方が大きくなることが分かっているときは1
• 検定の種類（1：対をなすデータ、2：等分散の2標本、3：非等分散の2標本）：通常は3、1は処理・加工を施す前後を比較するとき、3は等分散検査をしていないとき

2.4.14 サンプル数について

• 厳密にいえば、やりながら例数を決めるのはデータのねつ造である
• 測定に要する時間・費用・労力が許すなら10例、いずれかが足りないなら6~7例と、決めた例数を測定してから検定を行うべき

2.4.15 2値変数の比較 (カイ2乗検定)

• 成功/失敗などの2値変数を比較する場合 → $\chi ^ 2$(カイ2乗)検定を用いる

例題

顔認証アルゴリズムAとBがあり、各成功率の差が9%であった。

• ここでも、AとBの成功率の差が偶然生じたと考えて「成功率が等しい」という帰無仮説を用いる

• Excelを使って $\chi ^ 2$統計値が偶然に発生する確率を計算する場合
  → CHISQ.TEST(実測値範囲, 期待値範囲)関数を用いる

• 計算された$\chi ^ 2$統計値（＝p値）が有意水準を下回れば、帰無仮説が棄却される

• 有意水準を上回り、帰無仮説が棄却されなかった場合
  →「p=0.063であり、有意差はみられなかった」のように記す

• $\chi ^ 2$(カイ2乗)検定の場合、試行回数が多ければ、成功率は同じでもp値は下がる

2.4.16 3グループ以上の比較

• 今まで説明してきたt検定、$\chi ^ 2$検定はどちらも2グループの比較
• t検定、$\chi ^ 2$検定を3つのグループの比較に使用しようとすると帰無仮説の検出率が低下する
• そのため、3グループ以上の比較ではANOVAなどの多変量解析手法を用いる

2.4.17 その他

• 論文に標準偏差を示すとき、標準誤差と混同しないように、以下のように何を示すのかを明記する

例

測定値は、平均値$\plusmn$標準偏差（SD）として示す。

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• 平均値$\plusmn$SDでは、平均値と同じ桁までか1桁下までのSDを示す

例

12.3$\plusmn$4.5 or 12.3$\plusmn$4.56

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• 統計検定を用いた時には、p値をp=0.0049のように2桁の有効数字として示す
• 有意水準はp<0.050あるいはp<0.010のどちらかを用い、論文中では同じ水準を用いる
• 小さなp値を得たからといって、p<0.0001のように勝手な値を使ってはいけない
• 論文に記述する際、有意水準とp値を混同させた記述を用いないようにする

例

【×】 0.49%の有意差を認めた。
【○】 p=0.0049であり有意差を認めた。